Question

10．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，点D在AB上由点A开始向点B运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．
（1）如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线；
（2）求证：CE=CF；
（3）如果点F恰好落在弧BC上，请在备用图中画出图形，探究并证明此时EF与AB的关系．

Answer 1

分析 （1）连接OC，先证明△AOC是等边三角形，得出∠OCA=60°，再求出∠OCD=∠DCA=30°，由轴对称的性质得出∠ECA=∠DCA=30°，求出∠ECO=90°，即可得出结论；
（2）由轴对称的性质得出CE=CD，再求出∠CDF=∠F，得出CD=CF，即可得出结论；
（3）当点F恰好落在$\widehat{BC}$上时，点D与点O重合，由（2）得CE=OC，CF=OC，得出EF=2OC=AB，△OCF是等边三角形，得出∠F=∠COF=60°，再求出∠BOF=60°，得出∠F=∠BOF，即可得出EF∥AB．

解答 （1）证明：连接OC，如图2所示：
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OCA=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=∠DCA=30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CD=CE，
∴∠ECA=∠DCA=30°，
∴∠ECO=60°+30°=90°，
∴EF为⊙O的切线；
（2）证明：∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠ECA=∠DCA，
又∵DF⊥DE，
∴∠CDF=90°-∠CDE=90°-∠E=∠F，
∴CD=CF，
∴CE=CF；
（3）解：如图3所示：EF=AB，EF∥AB；理由如下：
当点F恰好落在$\widehat{BC}$上时，此时点D与点O重合，
由（2）得CE=OC，CF=OC，
∴EF=2OC=AB，△OCF是等边三角形，
∴∠F=∠COF=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOF=60°，
∴∠F=∠BOF，
∴EF∥AB．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、轴对称的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要画出图形，得出点D与点O重合，证明三角形是等边三角形才能得出结果．