Question

16．如图，AC平分∠MAN，点O在射线AC上，以点O为圆心，半径为1的⊙O与AM相切于点B，连接BO并延长交⊙O于点D，交AN于点E．
（1）求证：AN是⊙O的切线；
（2）若∠MAN=60°，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

分析 （1）首先过点O作OF⊥AN于点F，易证得OF=OB，即可得AN是⊙O的切线；
（2）由∠MAN=60°，OB⊥AM，可求得OF的长，又由S_阴影=S_△OEF-S_扇形OFD，即可求得答案．

解答 （1）证明：过点O作OF⊥AN于点F，
∵⊙O与AM相切于点B，
∴OB⊥AM，
∵AC平分∠MAN，
∴OF=OB=1，
∴AN是⊙O的切线；

（2）解：∵∠MAN=60°，OB⊥AM，
∴∠AEB=30°，
∴OF⊥AN，
∴∠FOE=60°，
在Rt△OEF中，tan∠FOE=$\frac{FE}{OF}$，
∴EF=OF•tan60°=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△OEF-S_扇形ODF=$\frac{1}{2}$OF•EF-$\frac{60}{360}$×π×OF²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{6}$π．

点评 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．