Question

19．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90?，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D．E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为FH=FG和位置关系为FG⊥FH；
（2）将图1中三角板△DEC绕着点C顺时针（逆时针）旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°）以图2和图3的情况为例，其中图2中旋转至点A、C、E在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若不成立，请说明理由；若成立，请从图2和图3中选其一证明
（3）在△DEC绕点C按图3方式旋转的过程中，当直线FH经过点C时，若AC=2，CD=$\sqrt{2}$，请直接写出FG的长．

Answer 1

分析 （1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=$\frac{1}{2}$AD，FH∥AD，FG=$\frac{1}{2}$BE，FG∥BE，即可推出答案；
（2）①证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
②连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
（3）如图4中，由题意，易知CF⊥DE，△CFD，△CFE都是等腰直角三角形，由CD=$\sqrt{2}$，推出CF=DF=1，∵BC=AC=2，推出BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，推出BD=BF-DF=$\sqrt{3}$-1，由DG=GB，推出DG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），根据FG=DF+DG计算即可解决问题；

解答 （1）解：如图1中，

∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴FH=$\frac{1}{2}$AD，FH∥AD，FG=$\frac{1}{2}$BE，FG∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案为：FG=FH，FG⊥FH．

（2）①答：成立，
证明：如图2中，

∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，
由（1）知：FH=$\frac{1}{2}$AD，FH∥AD，FG=$\frac{1}{2}$BE，FG∥BE，
∴FH=FG，FH⊥FG，
∴（1）中的猜想还成立．

②答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
如图3中，连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，

同（1）可证
∴FH=$\frac{1}{2}$AD，FH∥AD，FG=$\frac{1}{2}$BE，FG∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，
∴∠EZA=180°-90°=90°，
即AD⊥BE，
∵FH∥AD，FG∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，FH⊥FG，
结论是FH=FG，FH⊥FG．

（3）如图4中，

由题意，易知CF⊥DE，△CFD，△CFE都是等腰直角三角形，
∵CD=$\sqrt{2}$，
∴CF=DF=1，∵BC=AC=2，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=BF-DF=$\sqrt{3}$-1，
∵DG=GB，
∴DG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），
∴FG=DF+DG=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题主要考查对等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．