Question

4．如图，点A（1，2）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，B为反比例函数图象上一点，不与A重合，当以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为（　　）

• A． （2，1）
• B． （3，$\frac{2}{3}$）
• C． （4，0.5）
• D． （5，0.4）

Answer 1

分析 求得解析式y=$\frac{2}{x}$，设B（m，$\frac{2}{m}$），如图，证△AOC∽△BAD得$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OC}{AD}$，即$\frac{1}{2-\frac{2}{m}}$=$\frac{2}{m-1}$，求得m的值即可．

解答 解：将点A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=2，
则反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
设点B（m，$\frac{2}{m}$），
如图，连接AB，过点A作x轴的平行线，交y轴于点C，过点B作y轴的平行线，交直线AC于点D，

则∠OCA=∠D=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OB为圆的直径，
∴∠OAB=90°，
∴∠OAC+∠BAD=90°，
∴∠AOC=∠BAD，
则△AOC∽△BAD，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OC}{AD}$，即$\frac{1}{2-\frac{2}{m}}$=$\frac{2}{m-1}$，
解得：m=1（舍）或m=4，
则点B（4，0.5），
故选：C．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及相似三角形的判定与性质、圆周角定理，根据相似三角形的判定与性质建立方程是解题的关键．