Question

19．如图，等边△ABC中，AB=4，P是△ABC中的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，连接EB，先说明PA+PB+PC的最小值就是EC的长，根据EC=2EO即可即可解决问题．

解答 解：如图，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，连接EB，则△AEB、△APF是等边三角形，
此时PA+PB+PC=PC+PF+EF，所以当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，这个最小值就是EC的长．
设EC交AB于点O，∵△AEB，△ABC都是边长为4的等边三角形，
∴EC=2EO=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=4$\sqrt{3}$．
故答案为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查等边三角形的性质、轴对称-最短问题，解题的关键是利用旋转添加辅助线找到PA+PB+PC的最小值就是线段EC的长，题目有一点难度，掌握添加辅助线的方法．