Question

11．求满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过A（0，3），B（1，4），C（-1，0）；
（2）图象经过A（-1，0），B（3，0），函数有最小值-12；
（3）图象顶点坐标为A（-2，-3），且经过点（-3，1）．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，把A、B、C三点代入解析式即可求得a、b、c的值．
（2）求出对称轴为直线x=1，然后设顶点式解析式y=a（x-1）²-8，再把与x轴的一个交点坐标代入函数解析式计算即可得解．
（3）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为：y=a（x+2）²-3，再把（-3，1）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∵图象经过A（0，3），B（1，4），C（-1，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a+b+c=4}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴二次函数解析式为y=-x²+2x+3．
（2）∵二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0），
∴对称轴为直线x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∵函数最小值是-12，
∴设顶点式解析式y=a（x-1）²-12，
将点A（-1，0）代入得，a（-1-1）²-12=0，
解得a=3，
所以，y=3（x-1）²-12=3x²-6x-9，
故二次函数解析式为y=3x²-6x-9．
（3）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）²-3，
把（-3，1）代入解析式得a=4，
则抛物线的解析式为：y=4（x+2）²-3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．