Question

19．已知一元二次方程（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=0（k为常数）有两个不相等的整数根，求k的值．

Answer 1

分析 由方程为一元二次方程即可得出k²-3k+2=（k-1）（k-2）≠0，解之可得出k≠1且k≠2，利用因式分解法解一元二次方程可得出x₁=-$\frac{k}{k-1}$、x₂=-$\frac{k-1}{k-2}$，由方程的两根均为整数可设$\frac{k}{k-1}$=m，$\frac{k-1}{k-2}$=n（其中m、n均是不为1的整数），分析当k=0时，x₁=0、x₂=-$\frac{1}{2}$，从而排除m=0的情况，结合k≠1可得出n≠0，解分式方程用含m、n的代数式表示出k值，即k=$\frac{m}{m-1}$=$\frac{2n-1}{n-1}$，用含n的代数式表示出m，结合m、n均为整数即可求出n=-1，将其代入$\frac{k-1}{k-2}$=n即可求出k值，此题得解．

解答 解：∵方程（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=0为一元二次方程，
∴k²-3k+2=（k-1）（k-2）≠0，
∴k≠1且k≠2．
∵（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=[（k-1）x+k][（k-2）x+k-1]=0，
∴x₁=-$\frac{k}{k-1}$，x₂=-$\frac{k-1}{k-2}$．
∵一元二次方程（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=0有两个不相等的整数根，
∴设$\frac{k}{k-1}$=m，$\frac{k-1}{k-2}$=n（其中m、n均是不为1的整数），
∵当k=0时，x₁=0，x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴m≠0，
∵k±1，
∴n≠0．
∴k=$\frac{m}{m-1}$=$\frac{2n-1}{n-1}$，
∴m=2-$\frac{1}{n}$．
∵m为整数，n为整数，
∴n=-1或n=1（舍去）．
∴$\frac{k-1}{k-2}$=-1，
解得：k=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程以及解分式方程，解题的关键是利用因式分解法解一元二次方程求出x₁=-$\frac{k}{k-1}$，x₂=-$\frac{k-1}{k-2}$．