Question

6．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∠BCD=90°，然后根据SAS即可判定△APD≌△CPD；
（2）由（1）可得AP=CP，又由PE⊥DC，PF⊥BC，易证得四边形PECF是矩形，根据矩形的对角线相等，即可得PC=EF，证得AP=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理求出EF即可．．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∠BCD=90°，
在△APD和△CPD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDO}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）解：∵△APD≌△CPD，
∴AP=PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF．
∵∠DCB=90°，
∴在Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AP=EF=5．

点评 此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．