Question

如图，将长方形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．
（1）判断图②中BB′连线与GC的关系，说明理由；
（2）求图②中∠BCB′的大小；
（3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：常规题型

分析：（1）根据折叠的性质可判断GC垂直平分BB′；
（2）先根据折叠的性质得CB′=CB，BF=CF，EF⊥BC，则EF垂直平分BC，根据线段的垂直平分线的性质得B′B=B′C，于是可判断△B′BC为等边三角形，
根据等边三角形的性质得∠BCB′=60°；
（3）由（2）得到∠BCG=∠B′CG=

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∠BCB′=30°，利用互余得∠GCD=60°，再根据折叠的性质得GC=GC′，根据等边三角形的判定方法即可得到△GCC′是等边三角形．

解答：解：（1）GC垂直平分BB′．理由如下：如图②，
∵沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处，
∴点B与点B′关于CG对称，
∴GC垂直平分BB′；
（2）∵沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处，
∴CB′=CB，
∵长方形纸片ABCD对折得折痕EF，
∴BF=CF，EF⊥BC，即EF垂直平分BC，
∴B′B=B′C，
∴BC=B′B=B′C，
∴△B′BC为等边三角形，
∴∠BCB′=60°；
（3）图⑥中的△GCC′是等边三角形．理由如下：
在图②中，∠BCG=∠B′CG=

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∠BCB′=30°，
∴∠GCD=60°，
∵沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，
∴GC=GC′，
∴△GCC′是等边三角形．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和等边三角形的判定与性质．