Question

求满足条件

a-2 6

=

x

-

y

的自然数a，x，y．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：

分析：先两边平方可得：a-2

6

=x+y-2

xy

①，判断出

xy

必为无理数，将①变形x+y-a=2（

xy

-

6

），继而判断x+y-a必为零且

xy

-

6

=0，从而可得

x+y=a xy=6

，判断出x＞y后，可得出x、y、a的值．

解答：解：将原式两边平方得：a-2

6

=x+y-2

xy

①，
显然a-2

6

是无理数，
假设

xy

是有理数，则x+y-2

xy

是有理数，
这与①式矛盾，所以

xy

必为无理数，
由①式变形x+y-a=2（

xy

-

6

），
假设x+y-a≠0，则

xy

-

6

必为非零有理数，
设

xy

-

6

=k（k≠0），即

xy

-

6

=k，
所以有

xy

=

6

+k，
两边平方得：xy=6+2k

6

+k²，
所以2k

6

=xy-6-k²，
因为k≠0，所以2k

6

是无理数，而xy-6-k²是有理数，矛盾．
所以x+y-a=0且

xy

-

6

=0，
∴

x+y=a xy=6

，
又∵

x

-

y

=

a-2 6

，
∴x＞y，
∴满足条件的自然数为x=6，y=1，a=7或x=3，y=2，a=5．

点评：本题考查了有理数无理数的概念与运算，此类题目难度较大，解题突破口往往比较隐蔽，注意抓住等式两边有理数及无理数的判断．