Question

13．如图，在△ABC中，己知AB=AC=10，BC=16，点p在线段BC上运动（P不与B，C重合），连接AP，做∠APM=∠B，PM交AC于点M．
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）在P点运动过程中，若PM∥AB，请求出线段BP的长；
（3）探究：在P点运动过程中，连接BM，设△ABM的面积为S，试分析S是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角的性质求出∠PAB=∠MPC，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据平行线的性质和相似三角形的性质列出比例式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）作AH⊥BC于H，根据勾股定理和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据相似三角形的性质用x表示出AM，计算即可．

解答 （1）证明：∵∠APC=∠B+∠PAB，∠APM=∠B，
∴∠PAB=∠MPC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCM；
（2）∵PM∥AB，
∴∠APM=∠BAP，又∠APM=∠B，
∴∠B=∠PAB，
设BP=x，PM=y，则PC=16-x，PA=x，
∵PM∥AB，
∴$\frac{PM}{AB}$=$\frac{CP}{CB}$，即$\frac{y}{10}$=$\frac{16-x}{16}$，
整理得，5x+8y=80，①
∵△ABP∽△PCM，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{CM}$，即$\frac{10}{16-x}$=$\frac{x}{y}$，
整理得，10y=16x-x²，②
x₁=16（舍去），x₂=$\frac{25}{4}$，
答：PM∥AB时，线段BP的长为$\frac{25}{4}$；
（3）作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=10，BC=16，
∴BH=HC=8，
由勾股定理得，AH=6，
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×BC×AH=48，
设BP=x，
∵△ABP∽△PCM，
∴$\frac{BP}{MC}$=$\frac{AB}{PC}$，
MC=$\frac{16x-{x}^{2}}{10}$，
则AM=10-MC=$\frac{100-16x+{x}^{2}}{10}$，
∵$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{S}{48}$=$\frac{100-16x+{x}^{2}}{100}$，
则S=$\frac{12}{25}$（x²-16x+100）=$\frac{12}{25}$（x-8）²+$\frac{432}{25}$，
∴S存在最小值是$\frac{432}{25}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的性质、一元二次方程的解法以及二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解二次函数的最值的求法是解题的关键．