题目内容
8．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转，旋转角为（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．设直线A′B′与直线CB 相交于点D．（1）如图（1），当 AB∥CB′时，证明：△A′CD 是等边三角形；
（2）当θ=30°，75°，120°时，△CB′D是等腰三角形；
（3）如图（2），设AC的中点为 E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP，当旋转角θ为多少时，EP长度最大，求出EP的最大值．（利用备用图（3）探究）
分析 （1）当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．结合相似得到角相等，从而△A1CD是等边三角形；
（2）由于旋转角θ=∠BCB′，△CB′D是等腰三角形，分三种情况①当∠BCB′=∠A′B′C时，②当∠BCB′=∠B′DC时，③当∠A′B′C=∠B′DC时，进行计算；
（3）设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC=a，连接EP，利用EP的长度最大值得到．
解答 （1）证明：∵AB∥CB
∴∠B=∠BC B′=30°
∠BC A′=90°-30°=60°
∵∠A′=∠A=60°
∴△A′CD是等边三角形；
（2）由旋转有，∠BCB′=∠ACA′=θ，∠A′B′C=∠ABC=30°，
∵△CB′D是等腰三角形，
①当∠BCB′=∠A′B′C时，
∴∠BCB′=∠ABC=30°，
∴θ=∠BCB′=30°，
②当∠BCB′=∠B′DC时，
∴∠B′CB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A′B′C）=75°，
∴θ=∠BCB′=75°，
③当∠A′B′C=∠B′DC时，
∴∠A′B′C=∠B′DC=30°，
∴∠BCB′=180°-2∠A′B′C=120°，
∴θ=∠BCB′=120°，
故答案为30°，75°，120°
（3）解：如图，∠ABC=30°
连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，
此时θ=∠ACA1=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=$\frac{1}{2}$A′B′=a，
∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90°
∴CP=$\frac{1}{2}$A′B′=a，EC=$\frac{1}{2}$a，
∴EP=EC+CP=$\frac{1}{2}$a+a=$\frac{3}{2}$a．
点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的相似的性质的运用，和平行的性质的灵活使用，解本题的关键是旋转角的计算．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
如图，在△ABC中，己知AB=AC=10，BC=16，点p在线段BC上运动（P不与B，C重合），连接AP，做∠APM=∠B，PM交AC于点M．
已知函数y=ax2+bx-1的图象经过点（3，2），对称轴为直线x=1．
直线y=-x+1交y轴于C点，直线y=-$\frac{1}{2}$x，两条直线分别交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于B、A两点，若$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
如图，平面坐标系内，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…按此作法进行去，点Bn（n为正整数）的横坐标为（ ）| A． | （$\sqrt{2}$）n-1 | B． | （$\sqrt{2}$）n | C． | （$\sqrt{2}$）n+1 | D． | 2n |