Question

11．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过 圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC=30°，求AM．

Answer 1

分析 连接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度数求出∠BCO的度数，利用外角性质求出∠AOC度数，利用切线长定理得到MA=AC，利用HL得到三角形AOM与三角形COM全等，利用全等三角形对应角相等得到OM为角平分线，求出∠AOM为30°，在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义即可求出AM的长．

解答 解：连接OM，OC，
∵OB=OC，且∠ABC=30°，
∴∠BCO=∠ABC=30°，
∵∠AOC为△BOC的外角，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵MA，MC分别为圆O的切线，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，
$\left\{\begin{array}{l}{MA=MC}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA=$\frac{1}{2}$AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°=$\frac{AM}{OA}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{AM}{1}$，
解得：AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．