Question

6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OBAC的顶点A，B，C的坐标分别为（20，10），（20，0），（0，10）．D为OA的中点，在线段OB上有一动点P，则当PA+PD为最小值时，点P的坐标是（$\frac{40}{3}$，0）．

Answer 1

分析 作A点关于x轴的对称点A′，连接A′D交x轴于P，此时PA+PD=A′D，根据两点之间线段最短可知A′D就是PA+PD的最小值；根据A的坐标求得A′、D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′D的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+20，然后令y=0，即可求得P的坐标．

解答 解：作A点关于x轴的对称点A′，连接A′D交x轴于P，此时PA+PD=A′D，根据两点之间线段最短可知A′D就是PA+PD的最小值；
∵A（20，10），
∴A′（20，-10），D（10，5），
设直线A′D的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{20k+b=-10}\\{10k+b=5}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=20}\end{array}\right.$，
∴直线A′D的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+20，
令y=0，则0=-$\frac{3}{2}$x+20，
解得x=$\frac{40}{3}$，
∴P（$\frac{40}{3}$，0）．
故答案为（$\frac{40}{3}$，0）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知两点之间，线段最短和待定系数法是解答此题的关键．