Question

5．已知：如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别以1个单位长度/秒和$\sqrt{3}$个单位长度/秒的速度从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；过E点作EG∥OA交抛物线y=a（x-1）²+h（a＜0）于E、G两点，交AB于点F，连结DE、BG．若抛物线的顶点M恰好在BG上且四边形ADEF是菱形，则a、h的值分别为（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• C． -$\frac{\sqrt{3}}{4}$、$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{4}$、$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 首先求出一次函数y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与坐标轴交点A、B的坐标，由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若?ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OD，列方程求出t的值，进而得出G、E点坐标，求出直线BG的解析式，即可得出M点坐标，进而得出a、h的值．

解答 解：在直线解析式y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，令x=0，得y=$\sqrt{3}$；令y=0，得x=1．
∴A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），OA=1，OB=$\sqrt{3}$．
∴tan∠OAB=$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，
∴AB=2OA=2．
∵EG∥OA，
∴∠EFB=∠OAB=60°．
∴EF=$\frac{BE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}$=t，
∵EF∥AD，且EF=AD=t，
∴四边形ADEF为平行四边形．
若?ADEF是菱形，则DE=AD=t．
由DE=2OD，即：t=2（1-t），解得：t=$\frac{2}{3}$．
∴t=$\frac{2}{3}$时，四边形ADEF是菱形，
此时BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），G（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
设直线BG的解析式为：y=kx+b，将（0，$\sqrt{3}$），（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）代入得：
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
故直线BG的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
当x=1时，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即M点坐标为；（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
故抛物线y=a（x-1）²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
将（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）代入得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则a、h的值分别为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及菱形的判定和待定系数法求一次函数解析式等知识，得出M点坐标是解题关键．