Question

16．已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点．求证：∠ACL=∠BCN．

Answer 1

分析 延长LM至G，使LM=MG，推出四边形ALBG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AL=BG，AL∥GB，得到$\frac{LN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为E，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，等量代换得到$\frac{LN}{EN}$=$\frac{DN}{BN}$，推出LC∥FG，根据平行线的性质得到∠ELM=∠FGB，根据全等三角形的性质得到AE=BF，然后又全等三角形的性质结论得到结论．

解答 解：延长LM至G，使LM=MG，
∵AM=MB，LM=MG，
∴四边形ALBG是平行四边形，
∴AL=BG，AL∥GB，
∴$\frac{LN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，
延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为E，
∵AB是梯形ABCD的底边，
∴BF∥CD，
∴$\frac{CN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，
由$\frac{LN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，
得：$\frac{LN}{EN}$=$\frac{DN}{BN}$，
∴LC∥FG，
∴∠ELM=∠FGB，
∵AL∥GB，
∴∠LAE=∠GBF，∠ALM=∠BGM，
∴∠ALM-∠ELM=∠BGM-∠FGB，
∴∠ALE=∠BGF，
在△ALE与△BGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ALE=∠BGF}\\{AL=BG}\\{∠LAE=∠GBF}\end{array}\right.$，
∴△ALE≌△BGF，
∴AE=BF，
∵AC=BC，
∴∠CAE=∠CBF，
在△ACE与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAE=∠CBF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCF，
∴∠ACL=∠BCN．

点评 本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．