Question

7．如图，已知圆O的弦CD垂直于直径AB，垂足是点E，连接CO并延长交AD于点F，若AB=4，求当CF⊥AD时，OE的长为1．

Answer 1

分析 连接半径，根据直径所对的圆周角是直角构建直角三角形，证明∠ACF=∠DCF=∠BCD，从而得出30°角，利用30°角所对的直角边的性质求出OE的长．

解答 解：连接AC、BC，
∵AB=4，
∴OA=OC=2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CF⊥AD，AB⊥CD，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
∵∠COE=∠AOF，
∴∠BAD=∠DCF，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD=∠DCF，
∵CF⊥AD，
∴AF=DF，
∴CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠DCF=∠BCD，
∴∠DCF=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
在Rt△COE中，OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$×2=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质等知识，运用的内容较多，但不复杂，熟练掌握这些性质是关键，本题的突破口是作辅助线，构建直角三角形，得出30°．