Question

3．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AB=4，求线段GF的长．

Answer 1

分析 （1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，由垂径定理得出NG=NF=$\frac{1}{2}$GF，证出四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，即可得出GF的长．

解答 （1）证明：过点O作OM⊥AB，垂足是M．如图1所示：
∵⊙O与AC相切于点D．
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAO=∠NAO，
∴OM=OD．
∴AB与⊙O相切；
（2）解：过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．如图：2所示：
则NG=NF=$\frac{1}{2}$GF，
∵O是BC的中点，
∴OB=2．
在直角△OBM中，∠MBO=60°，
∴OM=OB•sin60°=$\sqrt{3}$，BM=OB•cos60°=1．
∵BE⊥AB，
∴四边形OMBN是矩形．
∴ON=BM=1，BN=OM=$\sqrt{3}$．
∵OF=OM=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：NF=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴GF=2NF=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理；熟练掌握切线的判定和等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键．