Question

18．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y=$\frac{1}{2}$x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA=∠OCA．
（1）求点C的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先利用一次函数解析式计算出A、B两点坐标，然后再根据平行线的性质可得∠ACO=∠BAO，再利用三角函数可得CO长，进而可得C点坐标；
（2）首先证明△CBD∽△OBA，根据相似三角形的性质可得$\frac{BO}{CB}$=$\frac{AO}{CD}$，然后可得D点坐标，再设出二次函数解析式，利用待定系数法求出解析式即可．

解答 解：（1）∵函数y=$\frac{1}{2}$x+1中，当y=0时，x=-2，
∴A（-2，0），
∵函数y=$\frac{1}{2}$x+1中，当x=0时，y=1，
∴B（0，1），
∵CD∥x轴，
∴∠BAO=∠ADC，
∵∠CDA=∠OCA，
∴∠ACO=∠BAO，
∴tan∠ACO=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴CO=4，
∴C（0，4）；

（2）∵∠AOB=∠OCD=90°，∠BAO=∠BDC=90°，
∴△CBD∽△OBA，
∴$\frac{BO}{CB}$=$\frac{AO}{CD}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{CD}$，
∴CD=6，
∴D（6，4），
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∵图象经过A（-2，0），D（6，4），C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+c}\\{4=c}\\{4=36a+6b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．

点评 此题主要考查了一次函数、二次函数以及相似三角形和三角函数的综合应用，关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，以及待定系数法求二次函数解析式的方法．