Question

11．已知函数y=4x²-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），且（x₁+x₂）（4x₁²-5x₁-x₂）=8，则该函数的最小值为（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 10
• D． -10

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴的交点问题得到x₁与x₂是4x²-4x+m=0的两根，由一元二次方程的解得4x₁²-4x₁+m=0，由根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{m}{4}$，则4x₁²=4x₁-m，接着由（x₁+x₂）（4x₁²-5x₁-x₂）=8得到（x₁+x₂）（-m-x₁-x₂）=8，则1•（-m-1）=8，解得m=-9，所以抛物线解析式为y=4x²-4x-9，然后根据二次函数的性质求函数的最小值．

解答 解：∵函数y=4x²-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），
∴x₁与x₂是4x²-4x+m=0的两根，
∴4x₁²-4x₁+m=0，x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{m}{4}$，
∴4x₁²=4x₁-m，
∵（x₁+x₂）（4x₁²-5x₁-x₂）=8，
∴（x₁+x₂）（4x₁-m-5x₁-x₂）=8，
即（x₁+x₂）（-m-x₁-x₂）=8，
∴1•（-m-1）=8，解得m=-9，
∴抛物线解析式为y=4x²-4x-9，
∵y=4（x-$\frac{1}{2}$）²-10，
∴该函数的最小值为-10．
故选D．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是利用一元二次方程的解的定义把4x₁²-5x₁-x₂降次．