Question

19．【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^2}$≥0，所以a-$2\sqrt{ab}+b$≥0，所以a+b≥$2\sqrt{ab}$，只有当a=b时，等号成立．
【获得结论】在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2$\sqrt{p}$，只有当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m=1时，m+$\frac{1}{m}$有最小值2．
【探索应用】如图，已知A（-3，0），B（0，-4），P为双曲线$y=\frac{12}{x}（x＞0）$上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

Answer 1

分析 （1）根据题目所给信息可知m+$\frac{1}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{m}}$，且当m=$\frac{1}{m}$时等号成立，可得出答案；
（2）可设P（x，$\frac{12}{x}$），可表示出AC和BD，则四边形ABCD的面积为S_{四边形ABCD}=2（x+$\frac{9}{x}$）+12，再利用所给信息可得到其最小值，此时x=3，可得出AC=BD，可得出四边形ABCD为菱形．

解答 解：
（1）根据题目所给信息可知m+$\frac{1}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{m}}$，且当m=$\frac{1}{m}$时等号，
∴当m=1时，m+$\frac{1}{m}$≥2，
即当m=1时，m+$\frac{1}{m}$有最小值2，
故答案为：1，2；
（2）设P（x，$\frac{12}{x}$），则C（x，0），D（0，$\frac{12}{x}$），
∴CA=x+3，BD=$\frac{12}{x}$+4，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$CA×BD=$\frac{1}{2}$（x+3）（$\frac{12}{x}$+4），
化简得：S=2（x+$\frac{9}{x}$）+12，
∵x＞0，$\frac{9}{x}$＞0，
∴x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x×\frac{9}{x}}$=6，
只有当x=$\frac{9}{x}$，即x=3时，等号成立，
∴S≥2×6+12=24．
∴S四边形ABCD有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），
AB=BC=CD=DA=5，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数解析式、菱形的判定、四边形的面积等知识点和探究问题的能力．在（1）中关键是通过对题目信息的把握，把知识应用到题目的解决中来，在（2）中关键是设出P点坐标，用x把四边形ABCD的面积表示出来，再利用题目中的结论来解决．本题为阅读理解题，这类题目主要考查学生把握信息和处理信息的能力，难度不大．