Question

6．如图，在平面直角坐标系中，A点为直线y=x上一点，过A点作AB⊥x轴于B点，若OB=4，E是OB边上的一点，且OE=3，点P为线段AO上的动点，则△BEP周长的最小值为（　　）

• A． 4+2$\sqrt{2}$
• B． 4+$\sqrt{10}$
• C． 6
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 在y轴的正半轴上截取OF=OE=3，连接EF，证得F是E关于直线y=x的对称点，连接BF交OA于P，此时△BEP周长最小，最小值为BF+EB，根据勾股定理求得BF，因为BE=1，所以△BEP周长最小值为BF+EB=5+1=6．

解答 解：在y轴的正半轴上截取OF=OE=3，连接EF，
∵A点为直线y=x上一点，
∴OA垂直平分EF，
∴E、F是直线y=x的对称点，
连接BF交OA于P，根据两点之间线段最短可知此时△BEP周长最小，最小值为BF+EB；
∵OF=3，OB=4，
∴BF=$\sqrt{O{F}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵EB=4-3=1，
△BEP周长最小值为BF+EB=5+1=6．
故选C．

点评 本题考查了轴对称的判定和性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出P点是解题的关键．