Question

6．如图，点C是⊙O上的动点，弦AB=4，∠C=45°，则S_△ABC的最大值是（　　）

• A． $2\sqrt{2}$+4
• B． 8
• C． $2\sqrt{3}$+4
• D． 4$\sqrt{2}$+4

Answer 1

分析 过点O作OE⊥AB于点E，OE的反向延长线交⊙O于点D，连接OA，OB，根据圆周角定理求出∠AOB=90°，由勾股定理求出OA的长，根据垂径定理求出AE的长，进而可得出OE的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：过点O作OE⊥AB于点E，OE的反向延长线交⊙O于点D，连接OA，OB，
∵AB是定值，
∴DE越长，则△ABC的面积越大．
∵∠C=45°，
∴∠AOB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=2$\sqrt{2}$．
∵OE⊥AB，
∴AE=2，
∴OE=$\sqrt{{OA}^{2}-{AE}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}-{2}^{2}}$=2，
∴DE=2$\sqrt{2}$+2，
∴当点C于点D重合时，△ABC的面积最大，即S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$×4×（2$\sqrt{2}$+2）=4$\sqrt{2}$+4．
故选D．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意画出图形，构造出圆周角是解答此题的关键．