如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A两点．(1)求抛物线的解析式,(2)在y轴左侧的抛物线上有一动点D．①如图(a).直线y=x+3与抛物线交于点Q.C两点.过点D作直线DF⊥x轴.交QC于点F.请问是否存在这样的点D.使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为$\sqrt{2}$:1?若存在.请求出点D的坐标,若不存在.请说明理由．②如图(b).若四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴左侧的抛物线上有一动点D．
①如图（a），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴，交QC于点F，请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为$\sqrt{2}$：1？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图（b），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当?ODAE的面积S为何值时，满足条件的点D恰好有3个？请直接写出此时S的值以及相应的D点坐标．

分析（1）结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①假设存在，设出点D的坐标．联立一次函数与抛物线的解析式成方程组，解方程组求出点Q、C的坐标，由点到直线的距离公式求出点D到直线CQ的距离和点C到直线DF的距离，根据二者的比例关系得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解方程得出m的值，由此即可得出点D的坐标；
②根据抛物线的解析式找出其顶点坐标，结合函数图象寻找出当点D的纵坐标绝对值为$\frac{27}{16}$时，满足题意的点D有三个，利用分割图形法求出平行四边形的面积S，再将y=±$\frac{27}{16}$代入抛物线解析式求出点D的坐标即可．

解答解：（1）将点A（-4，0）、B（-1，0）代入抛物线y=ax²+bx+3中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=16a-4b+3}\\{0=a-b+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3．
（2）①假设存在，设点D的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+3）（m＜0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{15}{4}x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{11}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
∴点C的坐标为（0，3）．
直线CQ的解析式为y=x+3可变形为x-y+3=0，
直线DF的解析式为x=m，
点D到直线CQ的距离d₁=$\frac{|m-（\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{15}{4}m+3）+3|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{11}{4}m|}{\sqrt{2}}$；
点C到直线DF的距离d₂=|0-m|=-m．
∵d₁：d₂=$\sqrt{2}$：1，
∴$\frac{|\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{11}{4}m|}{\sqrt{2}}$=-$\sqrt{2}$m，
解得：m₁=-$\frac{19}{3}$，m₂=0（舍去），m₃=-1，
即点D的坐标为（-$\frac{19}{3}$，$\frac{28}{3}$）或（-1，0）．
∴存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为$\sqrt{2}$：1，此时点D的坐标为（-$\frac{19}{3}$，$\frac{28}{3}$）或（-1，0）．
②∵抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3=$\frac{3}{4}$$（x+\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{27}{16}$，
∴该抛物线的顶点坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{16}$）．
设点D到x轴的距离为h，
又∵点C的坐标为（0，3），$\frac{27}{16}$＜3，
∴当0＜h＜$\frac{27}{16}$时，满足题意的点D有4个；当h=$\frac{27}{16}$时，满足题意的点D有3个；当$\frac{27}{16}$＜h＜3时，满足题意的点D有2个；当h≥3时，满足题意的点D有1个．
∴h=$\frac{27}{16}$，此时S=AO•h=4×$\frac{27}{16}$=$\frac{27}{4}$．
（i）将y=-$\frac{27}{16}$代入y=$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3中得：$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3=-$\frac{27}{16}$，
解得：x=-$\frac{5}{2}$，
此时点D的坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{16}$）；
（ii）将y=$\frac{27}{16}$代入y=$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3中得：$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3=$\frac{27}{16}$，
解得：x₁=-$\frac{5+3\sqrt{2}}{2}$，x₂=-$\frac{5-3\sqrt{2}}{2}$，
此时点D的坐标为（-$\frac{5+3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{27}{16}$）或（-$\frac{5-3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{27}{16}$）．
综上可知：当?ODAE的面积S为$\frac{27}{4}$时，满足条件的点D恰好有3个，此时点D的坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{16}$）、（-$\frac{5+3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{27}{16}$）和（-$\frac{5-3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{27}{16}$）．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、点到直线的距离、解二元二次方程组、解一元二次方程以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）①根据比例关系找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程；②确定点D到x轴的距离（点D的纵坐标的绝对值）．本题属于中档题，（1）没难度；（2）①难度不大，本问巧妙的利用了点到直线的距离，起到化繁为简的作用；②难度不大，稍显繁琐，解决该问时，结合函数图象，利用数形结合，确定点D到x轴的距离是关键．