题目内容
1．
当某一面积S关于某一线段x是一次函数时，则称S是关于x的奇特面积．如图，∠BAC=45°，点D在AC边上，且DA=2．点P，Q同时从D点出发，分别沿射线DC、射线DA运动，P点的运行速度是Q点的$\sqrt{2}$倍，当点Q到达A时，点P，Q同时停止运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR．设QD=x，△PQR和∠BAC重叠部分的面积为S，请问S是否存在关于x的奇特面积？若存在，求奇特面积S关于x的函数关系式；若不存在，请说明理由．
分析 分两种情形求出S与x的函数关系式，再根据S是关于x的奇特面积作出判断即可解决问题．
解答 解：存在，理由如下：
当点R在AB上时，∵∠A=45°，RQ⊥AC，
∴AQ=RQ=PQ，
∴2-x=x+$\sqrt{2}$x，
∴x=2-$\sqrt{2}$，
①当0＜x$≤2-\sqrt{2}$时如图1中，S=$\frac{1}{2}$PQ2=$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）x2，
②当2-$\sqrt{2}$＜x≤2时，如图2中，
∵RQ⊥AC，RQ=PQ，
∴∠R=∠RPQ=45°，
∵∠A=45°，
∴∠A+∠RPQ=90°，
∴∠AFP=90°=∠EFR，
∵RE=RQ-EQ=（1+$\sqrt{2}$）x-（2-x），
∴S=S△PQR-S△EFR=$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）2-$\frac{1}{4}$[（1+$\sqrt{2}$）x-（2-x）]2=（2+$\sqrt{2}$）x-1．
综上所述，当2-$\sqrt{2}$＜x≤2，S=（2+$\sqrt{2}$）x-1是一次函数，
∴当2-$\sqrt{2}$＜x≤2，S是关于x的奇特面积．
点评 本题考查一次函数综合题、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论求出S与x的函数关系，属于中考压轴题．
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2．
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6．
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