Question

4．如图：在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在BC上运动，试探究：当点E运动到何处时，DE与⊙O相切？并证明DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 若E为BC的中点时，连接OD，DE，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由于E为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得DE=BE，则利用等腰三角形的性质有∠BDE=∠DBE，加上∠ODB=∠OBD，则∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD，则∠ODE=∠OBD=90°，于是根据切线的判定方法即可判断DE是⊙0的切线．

解答 解：当E为BC的中点时，DE与⊙0相切．
证明如下：连接OD，DE，如图，
∵AB是⊙0直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
又∵E为BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠BDE=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD
即∠ODE=∠OBD，
∵∠ABC=90°
∴∠OBD=90°，
∴OD⊥DE
∴DE是⊙0的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．