Question

8．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，现有下列结论：①若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD=2$\sqrt{3}$；②若CD=2$\sqrt{3}$，点E是OB的中点，则⊙O的半径是2；③若∠CAB=30°，则四边形OCBD是菱形；④若四边形OCBD是菱形，则∠CAB=30°，其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据垂径定理和勾股定理即可得到CD=2CE=2$\sqrt{3}$，由CD⊥AB，得到∠CEO=90°，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到OC=2，根据圆周角定理得到∠COB=60°，推出△COB是等边三角形，得到BC=OC，于是得到OC=OD=BC=BD，根据菱形的判定定理得到四边形OCBD是菱形；根据菱形的性质得到OC=BC，推出OC=OB=BC，得到∠BOC=60°，根据圆周角定理即可得到即可．

解答 解：①∵OC=OB=2，
∵点E是OB的中点，
∴OE=1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，CD=2CE，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=2$\sqrt{3}$，故正确；
②∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
∵点E是OB的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OC，
∵OE²+CE²=OC²，
∴（$\frac{1}{2}$OC）²+（$\sqrt{3}$）²=OC²，
∴OC=2，故②正确；
③∵∠A=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC=OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴BC=BD，
∴OC=OD=BC=BD，
∴四边形OCBD是菱形；故③正确；
④∵四边形OCBD是菱形，
∴OC=BC，
∵OC=OB，
∴OC=OB=BC，
∴∠BOC=60°，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}∠$BOC=30°，故④正确．
故选D．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．