Question

10．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC=40°．
（1）求∠BAC；
（2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）求∠CAP．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义、三角形的外角的性质解答；
（2）根据角平分线的性质证明；
（3）根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案

解答 解：（1）在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠P+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A+∠PCB，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BPC=40°，
∴∠A=2×40°=80°，
即∠BAC=80°；
（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵CP是∠ACD的平分线，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF=PG，
同理，PE=PF，
∴PE=PF=PG，即点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
∴∠CAP=∠FAP=50°．

点评 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．