Question

11．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：BM=CN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论BM=CN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，AB=6，AC=4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可证明△ABM≌△ACN，可证得结论；
（2）方法同（1）；
（3）由条件可证明△ABC∽△AMN，再证明△ABM∽△ACN，利用相似三角形的性质可求得结论．

解答 解：
（1）证明：
∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴BM=CN；
（2）成立，理由如下：
∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴BM=CN；
（3）$\frac{BM}{CN}$=$\frac{3}{2}$．
理由如下：
∵AB=BC，AM=MN，
∴$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BC}{MN}$，
∵∠AMN=∠ABC，
∴△ABC∽△AMN，
∴$\frac{AB}{AM}$=$\frac{AC}{AN}$，即$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AM}{AN}$，
∵∠AMN=∠ABC，
∴∠BAC=∠MAN，
∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴$\frac{BM}{CN}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等边三角形性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等．在（1）、（2）中证明三角形全等是解题的关键，在（3）中证明三角形相似是解题的关键．本题所考查知识点较为基础，题目难度不大．