题目内容
6．矩形ABCD满足$\frac{AB}{AD}$=k（k＞1），在边DC上截取线段DE使得△ADE∽△ABC，F是线段EC的中点．（1）如图1，当∠CAB=30°时，请直接写出DF与BF的数量关系为DF=BF；
（2）如图2，当k=tan55°时，请判断（1）中所得DF，BF的关系是否仍然成立，证明你的判断，并求∠DFB的度数；
（3）如图3，若AC=1，k＞1，将△ADE绕A点旋转．请直接写出BF在旋转过程中的最小值$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2k}$（用含k的代数式表示）．
分析 （1）如图1中，连接BD交AE于G，交AC于O，连接OF．首先证明AE⊥BD，根据三角形中位线定理，可得FO∥AE，推出FO⊥BD，利用线段的垂直平分的性质即可解决问题．
（2）如图2中，当k=tan55°时，（1）中所得DF，BF的关系仍然成立．证明方法类似（1），求出∠FDB=∠FBD=35°，即可解决问题．
（3）如图3中，取AC的中点O，连接OF、OB．OB交⊙O于F′．由OC=OA，CF=FE，推出OF=$\frac{1}{2}$AE，OF是定值，推出点F在以O为圆心OF为半径的圆上运动，当点F运动到与F′重合时，BF的值最小，求出OB、OF即可解决问题．
解答 解：（1）如图1中，连接BD交AE于G，交AC于O，连接OF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，∠DAB=∠ADC=90°，
∴∠OAB=∠ODC=30°，
∴∠OAD=∠ODA=60°，
∵△ADE∽△ABC，
∴∠DAE=∠OAB=30°，
∴∠GAD+∠ADG=90°，
∴BD⊥AE，
∵EF=FC，OC=OA，
∴FO∥AE，
∴OF⊥BD，
∵OD=OB，
∴FD=FB．
故答案为FD=FB．
（2）如图2中，当k=tan55°时，（1）中所得DF，BF的关系仍然成立．理由如下：
连接BD交AE于G，交AC于O，连接OF．
由题意∠ACB=55°，易知∠ODC=∠OCD=∠OAB=∠OBA=∠DAE=35°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADG=55°，
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴BD⊥BD，
由（1）可知，OF垂直平分BD，
∴FD=FB，
∴∠FDB=∠FBD=35°，
∴∠DFB=180°-35°-35°=110°．
（3）如图3中，取AC的中点O，连接OF、OB．OB交⊙O于F′．
∵OC=OA，CF=FE，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE，OF是定值，
∴点F在以O为圆心OF为半径的圆上运动，当点F运动到与F′重合时，BF的值最小，
由题意，AC=1，AE=$\frac{1}{k}$，OF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2k}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴BF的最小值为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2k}$．
故答案为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2k}$．
点评 本题考查相似三角形综合题、矩形的判定和性质，三角形中位线定理、线段的垂直平分线的性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，学会用转化的思想思考问题，把最值问题转化为点与圆的距离远近的几何模型，属于中考压轴题．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线相交于点D，若∠BDC=25°，则∠ABC的度数为65°．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C，试证明∠1=∠2．| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 6 |
如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠GFB+∠BDE=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（ ）| A． | 30° | B． | 35° | C． | 40° | D． | 50° |
| A． | 不相交的两条直线叫做平行线 | |
| B． | 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 | |
| C． | 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 | |
| D． | 平行于同一条直线的两条直线互相平行 |