Question

4．如图，已知菱形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AB=10，AC=16．点P在AO上，点Q在DO上，且AP=2OQ．
（1）求线段OD的长；
（2）若PQ=BQ，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质以及勾股定理直接计算即可求出OD的长；
（2）设OQ=x，则AP=2x，OP=8-2x，PQ=BQ=6+x．利用勾股定理可得OP²+OQ²=PQ²，即（8-2x）²+x²=（6+x）² 解方程求出x的值，进而可求出AP的长．

解答 解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB=10，AO=$\frac{1}{2}$AC=8，AC⊥BD．
∴在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=6．
（2）设OQ=x，则AP=2x，OP=8-2x，PQ=BQ=6+x．
∵在Rt△POQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（8-2x）²+x²=（6+x）²          
解得：x₁=$\frac{11+\sqrt{93}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{11-\sqrt{93}}{2}$．
∴AP=2×$\frac{11-\sqrt{93}}{2}$=11-$\sqrt{93}$．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及一元二次方程的运用，题目的综合性较强，难度中等．