Question

3．如图1，等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，点F在边BC上，点M为AF的中点，连EM．
（1）①在图1中画出△BEF关于直线BE成轴对称的三角形；
②求证：CF=2ME；
（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转至如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论②是否仍成立？请证明你的结论；
（3）如图3，过B作BS⊥ME于S，若ES=2，BS=4，CF=10，则S_{四边形CFEB}为40（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）①延长EF交AB于D，如图1，则可判断△BED和△BEF为全等的等腰直角三角形，所以△BED为所作；
②先证明ME为△FAD的中位线得到AD=2ME，再利用等腰直角三角形的性质和等量代换得到AD=CF，于是有CF=2ME；
（2）延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，先证明ME为△FAG的中位线得到AG=2ME，然后证明△ABG≌△CBF得到AG=CF，所以CF=2ME；
（4）延长FE到点G，使EG=EF，如图3，连结AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延长BS交AG于K，利用△ABG≌△CBF得到AG=CF=10，S_△ABG=S_△CBF，再证明△FEH≌△EBS得到FH=ES=2，接着利用ME为△FAG的中位线得到FH=HL=2，ME∥AG，于是判断四边形HLKS为矩形得到SK=HL=2，则BK=6，则可计算出S_△ABG，从而得到S_△CBF的值，然后利用勾股定理计算出EF，则可计算出S_△BEF，最后利用S_{四边形CFEB}=S_△BCF+S_△BEF进行计算即可．

解答 （1）解：①延长EF交AB于D，如图1，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，
∴∠1=∠BFE=45°，
∴∠2=∠BDE=45°，
∴EF=ED=BE，
即BE垂直平分DF，
∴△BED与△BEF关于直线BE对称，
即△BED为所作；
②证明∵M点为AF的中点，
而EF=ED，
∴ME为△FAD的中位线，
∴AD=2ME，
∵BD=BF，BA=BC，
∴AD=CF，
∴CF=2ME；
（2）解：（1）中的结论②仍成立．理由如下：
延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，
∵M点为AF的中点，
而EF=EG，
∴ME为△FAG的中位线，
∴AG=2ME，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF=90°，BE=EF，
而EF=EG，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠EBG=45°，
∴△FBG为等腰直角三角形，
∴BF=BG，∠FBG=90°，
∵∠ABG+∠ABF=90°，∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABG=∠CBF，
在△ABG和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABG=∠CBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF，
∴AG=CF，
∴CF=2ME；
（4）延长FE到点G，使EG=EF，如图3，连结AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延长BS交AG于K，
由（3）得△ABG≌△CBF，
∴AG=CF=10，S_△ABG=S_△CBF，
∵∠FEH+∠BES=90°，∠EBS+∠BES=90°，
∴∠FEH=∠EBS，
在△FEH和△EBS中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FHE=∠BSE}\\{∠FEH=∠EBS}\\{FE=EB}\end{array}\right.$，
∴△FEH≌△EBS，
∴FH=ES=2，
∵ME为△FAG的中位线，
∴FH=HL=2，ME∥AG，
易得四边形HLKS为矩形，
∴SK=HL=2，
∴BK=BS+SK=4+2=6，
∴S_△ABG=$\frac{1}{2}$•10•6=30，
∴S_△CBF=30，
在Rt△BES中，BE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5}$•2$\sqrt{5}$=10，
∴S_{四边形CFEB}=S_△BCF+S_△BEF=30+10=40．
故答案为40．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质；利用线段中点构建三角形中位线得到线段之间的位置关系与数量关系；会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题．