Question

13．为了迎接“清明”小长假的购物高峰，某运动品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知每件甲服装进价比每件乙服装进价多20元，售价在进价的基础上加价50%，通过初步预算，若以4800元购进的甲服装比以4200元购进乙服装的件数少10件．
（1）求甲、乙两种服装的销售单价；
（2）现老板计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，若购进这100件服装的费用不超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？
（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？

Answer 1

分析 （1）设甲服装进价为x元/件，则乙服装进价为（x-20）元/件，根据“以4800元购进的甲服装比以4200元购进乙服装的件数少10件”列分式方程求解即可；
（2）设甲种服装购进m件，则乙种服装购进（100-m）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式解答即可；
（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．

解答 解：（1）设甲服装进价为x元/件，则乙服装进价为（x-20）元/件，
根据题意，得：$\frac{4800}{x}$=$\frac{4200}{x-20}$-10，
整理，得：x²+40x-9600=0，
解得：x₁=-120（舍），x₂=80，
经检验x=80是原分式方程的解，
∴甲服装的销售单件为80×（1+50%）=120元/件，
乙服装的销售单价为（80-20）×（1+50%）=90元/件；
答：甲服装的销售单件为120元/件，乙服装的销售单价为90元/件．

（2）设购进甲种服装m件，则可购进乙种服装（100-m）件，
根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{m≥65}\\{80m+60（100-m）≤7500}\end{array}\right.$，
解得：65≤m≤75，
答：甲种服装最多购进75件．

（3）设总利润为W元，
W=（120-80-a）x+（90-60）（100-x）
即w=（10-a）x+3000．
①当0＜a＜10时，10-a＞0，W随x增大而增大，
∴当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；
②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；
③当10＜a＜20时，10-a＜0，W随x增大而减小．
当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．

点评 本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、以及一次函数的性质，正确利用x表示出利润并根据一次项系数分类讨论是关键．