Question

6．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$AD，点P在线段AB上，满足PB=PD，点M在射线CD上，点C关于直线BM的对称点为点C′，连接C′B、C′M，射线MC′与射线DP交于点N．
（1）求证：∠PDC=60°；
（2）求证：当M在线段CD上时，∠MBN=60°；
（3）已知AB=9，请直接写出当点M在CD边的延长线上时，线段NC′与NP的数量关系：NP-NC'=3．

Answer 1

分析 （1）先设出AP，表示出BP，PD，进而用勾股定理求出x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，再用三角函数求出∠ADP=30°，即可得出结论；
（2）先求出∠CBH=120°，再判断出Rt△BHN≌Rt△BC'N，得出∠HBN=∠C'BN，进行代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法判断出HN=NC'，再求出PH，即可得出结论．

解答 解：（1）设AP=x，
∴PB=AB-AP=AB-x，
∵AB=$\sqrt{3}$AD，
∴BP=$\sqrt{3}$AD-x，
∵PB=PD，
∴PD=$\sqrt{3}$AD-x，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠C=∠A=∠ABC∠ADC=90°，
在Rt△ADP中，AP=x，PD=$\sqrt{3}$AD-x，
根据勾股定理得，AD²+AP²=PD²，
∴AD²+x²=（$\sqrt{3}$AD-x）²，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，
∴tan∠ADP=$\frac{AP}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADP=30°，
∴∠PDC=90°-∠ADP=60°；
（2）如图1，

过点B作BH⊥DP交DP的延长线于H，
由（1）知，BP=$\sqrt{3}$AD-x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AD，∠ADP=30°，
∴∠BPH=∠APD=60°，BH=AD=BC，
∴∠PBH=30°，
∴∠CBH=120°，
∵点C关于直线BM的对称点为点C′，
∴BC'=BC=AD，∠CBM=∠C'BM，∠BC'M=∠C=90°，
∴∠BC'N=90°，
在Rt△BHN和Rt△BC'N中，$\left\{\begin{array}{l}{BH=BC'}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BHN≌Rt△BC'N，
∴∠HBN=∠C'BN，
∴∠CBH=∠HBN+∠C'BN+∠C'BM+∠CBM=120°，
∴∠MBN=∠C'BN+∠C'BM=$\frac{1}{2}$（∠HBN+∠C'BN+∠C'BM+∠CBM）=60°，
即：当M在线段CD上时，∠MBN=60°；
（3）如图3，∵AB=$\sqrt{3}$AD=9，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
过点B作BH⊥DP交DP的延长线于H，
由（1）知，BP=$\sqrt{3}$AD-x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AD=6，∠ADP=30°，
∴∠BPH=∠APD=60°，BH=AD=BC，
∴∠PBH=30°，
∴∠CBH=120°，
∵点C关于直线BM的对称点为点C′，
∴BC'=BC=AD，∠CBM=∠C'BM，∠BC'M=∠C=90°，
∴∠BC'N=90°，
在Rt△BHN和Rt△BC'N中，$\left\{\begin{array}{l}{BH=BC'}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BHN≌Rt△BC'N，
∴HN=NC'，在Rt△BPH中，∠BPH=60°，BP=6，
∴PH=3，
∴NP=PH+HN=3+NH=3+NC'，
∴NP-NC'=3．
故答案为：NP-NC'=3．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，解本题的关键是判断出Rt△BHN≌Rt△BC'N，难点是（3）作出图形，是一道很好的中考常考题．