Question

16．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（-4，0），（0，3），连接AB．点P在第二象限，若以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P坐标为（-$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-3，7）或（-7，4）．

Answer 1

分析 分三种情况分别讨论：①当∠APB=90°时，过P作PE⊥x轴，过P作PD⊥y轴，构造全等三角形进行求解；②当∠PBA=90°时，过P作PD⊥y轴于D，构造全等三角形进行求解；③当∠PAB=90°时，过P作PD⊥x轴于D，构造全等三角形进行求解．

解答 解：分三种情况讨论：
①如图所示，当∠APB=90°时，过P作PE⊥x轴，过P作PD⊥y轴，则∠PEA=∠PDB=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠DPE=90°，
又∵∠APD=90°，
∴∠APE=∠BDP，
在△APE和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEA=∠PDB}\\{∠APE=∠BDP}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BDP（AAS），
∴PD=PE=OE=OD，AE=BD，
设PD=PE=OE=OD=a，
又∵A，B两点的坐标分别为（-4，0），（0，3），
∴AO=4，BO=3，
∵AO-OE=OD+BO，
即4-a=a-3，
解得a=$\frac{7}{2}$，
∴P（-$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）；

②如图所示，当∠ABP=90°时，过点P作PD⊥y轴于点D，
∴∠AOB=∠BDP，∠BPD+∠PBD=90°，∠ABO+∠PBD=90°，
∴∠ABO=∠BPD，
在△ABO和△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDP}\\{∠ABO=∠BPD}\\{AB=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BPD（AAS），
∴PD=BO=3，BD=AO=4，
则OD=BO+BD=7，
∴P（-3，7）；

③如图所示，当∠BAP=90°时，过P作PD⊥x轴于D，
∵∠ABO+∠OAB=90°，∠PAD+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠PAD，
在△ABO和△PAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠PAD}\\{∠AOB=∠PDA}\\{BA=PA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△PAD（AAS），
∴AD=OB=3，PD=OA=4，
∴OD=OA+OB=4+3=7，
∴P的坐标为（-7，4）；
综上所述，点P坐标为（-$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-3，7）或（-7，4）．
故答案为：（-$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-3，7）或（-7，4）．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键，并注意分类思想的运用．