Question

4．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．

（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是-4π；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第几次滚动后，小圆离原点最远？
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距6π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．

Answer 1

分析 （1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长；
（2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；
②先计算总路程，因为大圆不动，计算各数之和为-10，即小圆最后的落点为原点左侧，向左滚动10秒，距离为10π；
（3）分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距6π列等式，求出即可．

解答 解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是-2π•2=-4π，
故答案为：-4π；
（2）①第1次滚动后，|-1|=1，
第2次滚动后，|-1+2|=1，
第3次滚动后，|-1+2-4|=3，
第4次滚动后，|-1+2-4-2|=5，
第5次滚动后，|-1+2-4-2+3|=2，
第6次滚动后，|-1+2-4-2+3-8|=10，
则第6次滚动后，小圆离原点最远；
②1+2+4+3+2+8=20，
20×π=20π，
-1+2-4-2+3-8=-10，
∴当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有20π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是10π；
（3）设时间为t秒，
分四种情况讨论：
i）当两圆同向右滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，
2πt-πt=6π，
2t-t=6，
t=6，
2πt=12π，πt=6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为12π、6π．
ii）当两圆同向左滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：-2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数：-πt，
-πt+2πt=6π，
-t+2t=6，
t=6，
-2πt=-12π，-πt=-6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-12π、-6π．
iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，
同理得：2πt-（-πt）=6π，
3t=6，
t=2，
2πt=4π，-πt=-2π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为4π、-2π．
iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，
同理得：πt-（-2πt）=6π，
t=2，
πt=2π，-2πt=-4π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-4π、2π．

点评 本题考查了数轴及圆的几何变换，还考查了一元一次方程的应用，用方程解决此类问题比较简单，同时又利用了分类讨论的思想，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系．