Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边的中点，点E、点F分别在直线CA、BC上，且DE⊥DF．
（1）证明：△DEF是等腰直角三角形；
（2）求证：EF²=AE²+BF²；
（3）若AE=5，BF=12，求S_△CEF的值；
（4）探索S_△CEF、S_△DEF、S_△ABC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD⊥AB，AD=DB=CD，∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，由余角的性质得到∠ADE=∠CDF，推出△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到DE=DF，于是得到结论；
（2）延长FD，使DM=DF，连接AM，EM，通过△DFB≌△AMD，得到AM=BF，∠B=∠DAM=45°，证得∠CAD+DAM=90°，根据勾股定理得到AE²+AM²=EM²，等量代换得到EF²=AE²+BF²；
（3）根据全等三角形的性质得到CF=AE=5，BC=17=AC，求得BF=CE=12，于是得到结论；
（4）根据三角形全等得到S_△ADE=S_△CDF，由S_△ADE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=S_△CDF+S_△BDF，于是得到S_△BDF=S_△CDE，推出S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD⊥AB，AD=DB=CD，∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，
∵ED⊥DF，
∴∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠A=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）延长FD，使DM=DF，连接AM，EM，
在△DFB与△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DF}\\{∠ADM=BDF}\\{AD=DB}\end{array}\right.$，
∴△DFB≌△AMD，
∴AM=BF，∠B=∠DAM=45°，
∴∠CAD+DAM=90°，
∴AE²+AM²=EM²，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EF=EM，
∴EF²=AE²+BF²；

（3）∵△AED≌△CDF，
∴CF=AE=5，
∴BC=17=AC，
∴BF=CE=12，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF$=$\frac{1}{2}×12×5$=30；

（4）∵△AED≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF，
∵S_△ADE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=S_△CDF+S_△BDF，
∴S_△BDF=S_△CDE，
∴S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．