Question

8．阅读下列材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a₁，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a_n．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a₁=1，公比为q=3．
然后解决下列问题．
（1）等比数列3，6，12，…的公比q为2，第4项是24．
（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a₁）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a₁，a₁q，a₁•q²，a₁•q³，…．由此可得第n项a_n=a₁•q^n-1（用a₁和q的代数式表示）．
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，求它的第1项与第4项．
（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义可得；
（2）由数列中的每一项等于首项乘以公比的序数减一次方可得；
（3）根据定义先求得首项，再根据通项公式即可得；
（4）根据通项公式得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=12}\\{{a}_{1}{q}^{5}=96}\end{array}\right.$，求得首项和公比，继而根据通项公式可得答案．

解答 解：（1）根据题意知公比q=6÷3=2，第4项是12×2=24，
故答案为：2，24；

（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a₁，a₁q，a₁•q²，a₁•q³，…．由此可得第n项a_n=a₁•q^n-1，
故答案为：a₁•q^n-1；

（3）根据题意知，第1项为10÷2=5，第4项为5×2³=40；

（4）根据题意知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=12}\\{{a}_{1}{q}^{5}=96}\end{array}\right.$，
∴q³=8，即q=2，
则a₁=3，
∴这个等比数列的第10项为3×2⁹=1536．

点评 本题主要考查数字的变化规律，熟练掌握等比数列的定义及其通项公式是解题的关键．