题目内容
16．问题探究（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABE和等边△ACD，连结BD，CE．请你完成图形；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）问的基础上探索BD与CE的数量关系，并说明理由；
（3）如图②要测量池塘两岸相对两点B、D的距离，已测得∠ABC=45°，∠CAD=90°，AC=AD，AB=2BC=60米．请根据以上条件求出BD的长．
分析 （1）根据题意画出相应图形，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点即为点E，连接AE、BE，△ABE为等边三角形；
（2）由等边三角形的性质得到AE=AB，AD=AC，且∠BAE=∠CAD=60°，得出∠BAD=∠EAC，利用SAS得到△ABD与△AEC全等，利用全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
（3）以AB为腰作等腰直角△ABE，连接CE，由等腰直角三角形的性质得出∠ABE=45°，BE=$\sqrt{2}$AB=60$\sqrt{2}$，证出∠EBC=90°，由勾股定理求出CE=90，同（2）得：△ABD≌△AEC，由全等三角形的性质即可得出BD=CE=90（米）．
解答 解：（1）如图①
所示：
（2）BD=CE；理由如下：
∵△ABE和△ACD都为等边三角形，
∴AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠CAB，
即∠EAC=∠BAD，
在△ABD和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}&{\;}\\{∠BAD=∠EAC}&{\;}\\{AD=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（3）以AB为腰作等腰直角△ABE，连接CE，如图所示：
则∠ABE=45°，BE=$\sqrt{2}$AB=60$\sqrt{2}$，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=45°+45°=90°，
∵AB=2BC=60，∈BC=30，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（60\sqrt{2}）^{2}+3{0}^{2}}$=90，
同（2）得：△ABD≌△AEC，
∴BD=CE=90（米）．
点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
名校课堂系列答案
如图，B，C，E三点在同一直线上，AC∥DE，AC=CE=3cm，DE=5cm，∠1=∠B，则BE=8cm．
如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠C=35°，∠AMD=75°，则∠D的度数是（ ）| A． | 25° | B． | 35° | C． | 40° | D． | 75° |
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交BC于点F，若AB=12cm，BC=18cm，S△ABC=90cm2，则DF长为（ ）| A． | 3cm | B． | 6cm | C． | 9cm | D． | 12cm |
如图所示，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D，且BC=15，求AB+AE的长．