Question

18．如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．

（1）分别求图①，图②和图③中，∠APD的度数．
（2）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠C=60°，证△ABE≌△BCD，推出∠BAE=∠CBD，根据三角形的外角性质推出∠APD=∠BAE+∠ABD=∠ABC=60°，同理其它情况也是∠APD等于其中一个角；
（2）正四边形时，同样能推出∠APD=∠ABC=90°，正五边形时，∠APD=∠ABC=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，正六边形时，∠APD=∠ABC=$\frac{（6-2）×180°}{6}$=120°，依此类推得出正n边形时，∠APD=∠ABC=$\frac{（n-2）×180°}{n}$．

解答 解：（1）正三角形时，∠APD=60°，正四边形时，∠APD=90°，证五边形时，∠APD=108°，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∴∠APD=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°，
即∠APD=60°；

（2）推广问题和结论：点E，D分别是正n边形ABCM …中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数；
解：由（1）的结论得，正四边形时，同样能推出∠APD=∠ABC=90°，
正五边形时，∠APD=∠ABC=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，
正六边形时，∠APD=∠ABC=$\frac{（6-2）×180°}{6}$=120°，
依此类推得出正n边形时，∠APD=∠ABC=$\frac{（n-2）×180°}{n}$．

点评 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和理解能力，能根据题意得出规律是解此题的关键．