Question

18．△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
（1）求证：OE=BE；
（2）若△ABC的周长比△AEF的周长大10，试求出BC的长度．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得到∠AEF=∠ABC，等量代换得到∠AEF=∠AFE，根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，根据角平分线的定义得到∠EBD=∠DBC，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的周长的计算公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，
∴BE=DE；
（2）由（1）证得BE=DE，
同理DF=CF，
∴△AEF的周长=AB+AC，
∵△ABC的周长比△AEF的周长大10，
∴BC=AB+AC+BC-AB+AC=10．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．