Question

9．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交$\widehat{AB}$于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $3π-\sqrt{3}$
• B． $3π-2\sqrt{3}$
• C． $\frac{5π}{3}-\sqrt{3}$
• D． $\frac{5π}{3}-2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OE，根据CE⊥OA且OA=4可知OC=2，求出cos∠EOC=$\frac{1}{2}$，由此可得出∠COE的度数，进而得出∠BOE的度数，根据S_阴影=S_扇形AOB-S_扇形ACD-S_扇形BOE-S_△COE即可得出结论．

解答 解：连接OE，如图所示：
∵C为OA的中点，CE⊥OA且OA=4，
∴OC=2，
∴cos∠EOC=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{1}{2}$，CE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠COE=60°．
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE=30°，
∴S_阴影=S_扇形AOB-S_扇形ACD-S_扇形BOE-S_△COE
=$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{5π}{3}$-2$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求出∠COE的度数是解答此题的关键．