Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=

1

3

x²+bx+c与y轴相交于C点，过C点作CB∥x轴交抛物线于B点，过B点作BA⊥x轴，垂足为A，连接BO，B点坐标为（4

3

，4）
（1）求抛物线的解析式；
（2）P点从B点出发以每秒2个单位的速度沿BA向终点A运动，过P点作PQ∥OB交抛物线于Q，设P点运动时间为t秒，当△PBQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）在（2）条件下，延长BQ交BQ交x轴于E点，F点在线段OC上，连接EF，过O点作OG⊥EF，垂足为G，连接CG，设F点的纵坐标为m，当线段CG最短时，求m的值，并判断G点是否在（1）中的抛物线上．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据B的坐标可求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式；
（2）根据tan∠ABO=

OA

AB

=

3

求得∠ABO=60°，由PQ∥OB，PB=PQ得出∠PBQ=∠PQB=∠OBQ=30°，根据直角三角函数求得PH=t，QH=

3

t，进而求得QK=4-3t，OK=4

3

-

3

t，得出Q（4

3

-

3

t，4-3t），代入抛物线的解析式即可求得．
（3）先通过解直角三角形求得OE的长，得出E点的坐标，因为CG+GM≥CM，所以当G在CM上时CG最短，然后根据

OM

OC

=

NG

CN

=

3

3

，设GN=

3

k，得出G（

3

k，4-3k），分别表示出MR、RG、MG的长，最后根据勾股定理即可求得；

解答：解：（1）如图1，在四边形ABCO中，
∵BA⊥x轴，
∴∠BAO=90°，
∵BC∥x轴，
∴∠ABC=∠BAO=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=OC=4，BC=OA=4

3

，
∴点C的坐标为（0，4），
依题意可得：

4= 1 3 (4 3 )2+b×4 3 +c 4= 1 3 (0)2+b×0+c

 
解得

b=- 4 3 3 c=4

∴所求抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

4 3

3

x+4；

（2）如图1，过Q作x轴垂线，垂足为K，QH⊥AB，垂足为H．
在RT△ABO中，tan∠ABO=

OA

AB

=

3

=tan60°，
∴∠ABO=60°，
∵PQ∥OB，
∴∠QPA=∠ABO=60°
∴∠QPB=180°-60°=120°，
∵PB=PQ=2t，
∴∠PBQ=∠PQB=

180°-120°

2

=30°，
∵∠BHQ=90°，
∴PH=t，QH=

3

t，
延长HQ交y轴于点S，
∵∠HAO=∠AHS=∠AOS=90°，
∴四边形AHSO是矩形，
∴QK=OS=AH=4-BH=4-3t，OK=OA-AK=4

3

-HQ=4

3

-

3

t
∴Q（4

3

-

3

t，4-3t）
代入抛物线解析式4-3t=

1

3

（4

3

-

3

t）²-

4 3

3

（4

3

-

3

t）+4；
解得t₁=1，t₂=0（舍去），

（3）如图2，在△ABE中，
∵∠BAE=90°，∠ABE=30°，
∴tan∠ABE=tan30°=

AE

AB

，
∴

AE

4

=

3

3

，
∴AE=

4 3

3

，
∵OE=OA-AE，
∴OE=

8 3

3

，
∴E（

8 3

3

，0），
取OE的中点M，连接MG、CM，
则MG=

1

2

OE=

4 3

3

，CM=

8 3

3

，
∵CG+GM≥CM，
∴当G在CM上时AE，CG最短
作GN⊥y轴，GR⊥x轴，

OM

OC

=

NG

CN

=

3

3

，
设GN=

3

k，
则CN=3k，RG=ON=4-3k，
∴G（

3

k，4-3k），MR=

4 3

3

-

3

k，
由勾股定理得，MR²+RG²=MG²，
即（

4 3

3

-

3

k）²+（4-3k）²=（

4 3

3

）²，
解得k₁=

2

3

，k₂=2（舍去）
G（

2 3

3

，2），m=

8

3

，G点不在抛物线上．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，根据三角函数解直角三角形，等腰三角形的性质以及平行线分线段定理，勾股定理的应用．