Question

19．已知两个不等实数a、b分别满足a²+3a=1，b²+3b=1，则（a²+5a+1）•（b²+5b+1）的值为-12．

Answer 1

分析 先由已知条件得到a²=1-3a，b²=1-3b，把它们代入（a²+5a+1）•（b²+5b+1）中整理得到原式=4（ab+a+b+1），由于a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，于是a、b可看作方程x²+3x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到a+b=-3，ab=-1，然后利用整体代入的方法计算原式的值．

解答 解：∵a²+3a=1，b²+3b=1，
∴a²=1-3a，b²=1-3b，
∴（a²+5a+1）•（b²+5b+1）=（1-3a+5a+1）（1-3b+5b+1）=（2a+2）（2b+2）=4（ab+a+b+1），
∵a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，
∴a、b可看作方程x²+3x-1=0的两根，
∴a+b=-3，ab=-1，
∴（a²+5a+1）•（b²+5b+1）=4（-1-3+1）=-12．
故答案为-12．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．