Question

1．如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l₂：y=$\frac{1}{3}$x交于点A．
（1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是（$\frac{48}{5}$，$\frac{16}{5}$），B的坐标是（16，0），C的坐标是（0，8）．
（2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点B，C坐标，联立两直线解析式确定出点A坐标；
（2）设出点M的坐标，利用三角形的面积公式建立方程即可求出点M的坐标；
（3）分两种情况即可解决问题．

解答 解：∵直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，
令x=0，则y=8，
∴C（0，8），
令y=0，则-$\frac{1}{2}$x+8=0，
∴x=16，
∴B（16，0），
联立直线l₁和直线l₂得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+8}\\{y=\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{48}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{48}{5}$，$\frac{16}{5}$），
故答案为（$\frac{48}{5}$，$\frac{16}{5}$），（16，0），（0，8）；

（2）∵点M在线段OA上，且直线OA的解析式为y=$\frac{1}{3}$x，设M（m，$\frac{1}{3}$m）（m＞0），
∵△COM的面积为24，
∴S_△COM=$\frac{1}{2}$×8×m=24，
∴m=6，
∴M（6，2），
设直线CM的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线CM的解析式为y=-x+8，

（3）如图，
①CE是菱形的对角线时，由（2）知，直线CM的解析式为y=-x+8，
令y=0，则-x+8=0，
∴x=8，
∴E'（8，0），
∵四边形OCF'E'是菱形，
∴E'F'=OB=8，
∴∠OCE'=45°，OC=OE'，
过点C作CF'∥x轴，过点E'作E'F'∥y轴相交于F'，
．∴F'（8，8），
②CE为菱形的边时，∵四边形OCF'E'是菱形；
在射线CM上取一点E使CE=OC，
∵四边形OECF是菱形，
∴CE=OE，
∴点E是OC的垂直平分线，
当y=4时，-x+8=4，
∴E（4，4），
∴F（-4，4），
同理，F''（4，-4），
即：满足条件的点F的坐标为（-4，4），（4，4），（8，8）．

点评 一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，菱形的性质和判定，解本题的关键是画出图形，是一道中考常考题．