Question

12．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=QC=AP=AQ．
（1）求证：AB=AC；
（2）若∠B=25°，求∠BAC的度数；
（3）若∠BAC=120°，判断△APQ的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明AB=AC，只要证明△APB≌△AQC即可．
（2）求出∠B、∠C，利用∠BAC=180°-∠B-∠C即可解决问题．
（3）结论：△APQ是等边三角形，只要证明∠APQ=∠AQP=60°即可．

解答 （1）证明：∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，
在△APB和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=QA}\\{∠APB=∠AQC}\\{PB=QC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△AQC，
∴AB=AC．
（2）解：∵AB=AC，∠B=25°，
∴∠B=∠C=25°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=130°．
（3）结论：△PAQ是等边三角形．
理由：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵PA=PB，
∴∠B=∠PAB=30°，
∴∠APQ=∠B+∠PAB=60°，
∵AP=QA，
∴∠B=∠PAB=30°，
∴∠APQ=∠B+∠PAB=60°，同理∠AQP=60°，
∴△APQ是等边三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．