Question

19．问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{13}$），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求△ABC面积的方法叫做构图法．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：3.5．
思维拓展：
（2）若△ABC三边的长分别为$\sqrt{5}$a、2$\sqrt{2}$a、$\sqrt{17}$a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$、$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，且m≠n），求这个三角形的面积．
（4）直接写出当x为何值时，函数y=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+4}$有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）△ABC的面积=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
（2）$\sqrt{5}$a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2$\sqrt{2}$a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；$\sqrt{17}$a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．、；
（4）函数y=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+4}$有最小值，即y=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+（2-0）^{2}}$的最小值，实际上就是求x轴上一点到（0，-3）以及（12，2）两点的和的最小值，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）△ABC的面积=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
故答案为：3.5；

（2）如图：

S_△ABC=2a×4a-$\frac{1}{2}$a×2a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$=3a²；

（3）解：构造△ABC所示，

S_△ABC=3m×4n-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×2n  
=5mn；
（4）函数y=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+4}$有最小值，即y=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+（2-0）^{2}}$的最小值，
实际上就是求x轴上一点到（0，-3）以及（12，2）两点的和的最小值，
而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，-3）到点（12，2）的距离即为所求，
即$\sqrt{1{2}^{2}+（3+2）^{2}}$=13．
函数y=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+4}$的最小值是13．

点评 此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，利用了数形结合的思想，弄清题意，画出相应的图形是解本题的关键．