Question

16．如图，在菱形ABCD中，分别过B、D作对边的垂线，垂足分别为E、F、G、H．若四边形EFGH的面积与菱形ABCD的面积之比为4：9，则sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 连接BD．∵BE⊥AD，DH⊥AB，首先证明四边形EFGH是矩形，设AB=BC=CD=AD=x，则AE=AH=x•cosA，由$\frac{EH}{BD}$=$\frac{AH}{AB}$，推出EH=BD•cosA，同法可得EF=AC•（1-cosA），由$\frac{{S}_{矩形EFGH}}{{S}_{菱形ABCD}}$=$\frac{EF•EH}{\frac{1}{2}•AC•BD}$=$\frac{4}{9}$，可得$\frac{AC•BD•cosA（1-cosA）}{\frac{1}{2}•AC•BD}$=$\frac{4}{9}$，整理得9coc²A-9cosA+2=0，求出cosA即可解决问题．

解答 解：连接BD．∵BE⊥AD，DH⊥AB，
∴∠AEB=∠AHD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
在△ADH和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠AEB}\\{∠A=∠A}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△ABE，
∴AE=AH．
∴∠AEH=∠AHE，
∵∠ADH=∠ABD，
∴∠A+2∠AEH=180°，∠A+2∠ADB=180°，
∴∠AEH=∠ADB，
∴EH∥BD，同理可证FG∥BD，
∴EH∥FG，同理可得EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥AC
∴EF⊥BD，∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
设AB=BC=CD=AD=x，则AE=AH=x•cosA，
∵$\frac{EH}{BD}$=$\frac{AH}{AB}$，
∴EH=BD•cosA，同法可得EF=AC•（1-cosA），
∵$\frac{{S}_{矩形EFGH}}{{S}_{菱形ABCD}}$=$\frac{EF•EH}{\frac{1}{2}•AC•BD}$=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{AC•BD•cosA（1-cosA）}{\frac{1}{2}•AC•BD}$=$\frac{4}{9}$，
整理得9coc²A-9cosA+2=0，
解得cosA=$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$，
∴sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、矩形的判定、解直角三角形、锐角三角函数、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建方程，把问题转化为方程解决，属于中考填空题中的压轴题．