Question

如图，C、D是以AB为直径的半圆上的两个点（不与A、B重合），连接DC、AC、DB，AC与BD交于点P，若∠APD=α，则

CD

AB

=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°；根据两角对应相等，两三角形相似得△APB∽△DPC，则PD：PA=CD：AB，再根据锐角三角函数的定义求得cos∠APD的值即为CD：AB的值．

解答：解：连接AD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵∠BAP=∠CDP（同弧所对的圆周角相等），∠APB=∠DPC（对顶角相等），
∴△APB∽△DPC，
∴PD：PA=CD：AB（相似三角形的对应边成比例），
∴

CD

AB

=

DP

PA

=cos∠α，
故答案为：cos∠α．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质、以及锐角三角函数的概念．解答该题的关键是通过作辅助线AD构建直角三角形ABD，在直角三角形中利用锐角三角函数的定义求cos∠APD的值．