Question

如图，已知Rt△ABC，∠C为直角，请你用尺规，按下列要求作图和计算（不必写画法，但保留作图痕迹）
（1）以AC为一边作等边△ACD；
（2）若设∠A=30°，BC=6，求BD的长．（简单写出解答过程即可）

Answer 1

考点：作图—复杂作图,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）分别以A、C为圆心，以AC长为半径画弧，相交于点D，连接AD、CD则△ACD即为所求作的等边三角形；
（2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，然后分两种情况：①点D在AC的下方时，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，求出DE、CE的长度，然后求出BE的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解：；②点D在AC的上方时，求出∠BAD=30°，根据等边三角形的性质可得AB⊥CD，再根据对称性可得△ABD与△ABC关于AB成轴对称，根据轴对称的性质可得BD=BC．

解答：解：（1）如图所示，△ACD为所求作的等边三角形，点D在AC的上方与下方两种情况；
（2）∵∠A=30°、BC=6，
∴AB=2BC=12，
根据勾股定理，AC=6

3

①点D在AC的下方时，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
则DE=

1

2

Ac=3

3

，CE=9
∴BE=BC+CE=6+9=15
在Rt△BDE中，BD²=DE²+BE²，
∵BD＞0
∴BD=6

7

；
②点D在AC的上方时，∵∠A=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠BAC=∠BAD，
∴AB⊥CD，
∴△ABD与△ABC关于AB成轴对称，
∴BD=BC，
∵BC=6，
∴BD=6；　　　　　　　　　　　　　
综上所述，BD的长度为故答案为：6

7

或6．

点评：本题考查了复杂作图，主要利用了过一点作已知直线的垂线，已知一边作等边三角形，都是基本作图，（2）题要注意分点D在AC的上方与下方两种情况讨论求解．